王倩 数学 直观导入抽象内化 ——以《三角形三边关系》为例谈数学课堂上的直观与抽象

    直观导入  抽象内化

——以《三角形三边关系》为例谈数学课堂上的直观与抽象

直观是通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。抽象的概念是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。数学作为一门抽象的学问，学好它需要很强的抽象思维能力。数学也是一门直观的学问，我们可以在现实生活中找到数学模型，也可以用直观的符号、图形来表示数学中的公式，定理。

数学教学中太过抽象是不利于学生理解和掌握知识，但太过直观又会冲淡数学应有的味道，还会妨碍学生数学思维能力的发展，抽象与直观之间存在一定的辩证关系，如何处理好数学课堂中的直观与抽象呢？我们通过分析《三角形三边关系》这样一个课例来体会。

《三角形三边的关系》这一课是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边的和大于第三边。三角形三边关系定理不仅给出了三角形三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准,熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边，是数学严谨性的一个体现,同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力,它还将在以后的学习中起着重要的作用。

研究了相关教案之后，我发现，对于这一内容，目前主流的教学方法往往是采用几个步骤：

一、情境导入，直观的将问题聚焦到三角形三边关系上来。

比如：有老师采用了这样的情境——初一（2）班小明同学要制一个等腰三角形铝合金框架，现在他已有长度分别为2米、4米的两根铝合金材料，还需购买一根，试问购买这一根铝合金材料要多少米？

这样的情境有效的运用了孩子现有的经验，唤醒了孩子脑海中的形象直观，把问题聚焦到了三角形的边上。小小的疑问就是，因为等腰三角形的三边是一个比较确定的值，需要购买的另一根铝合金材料不是2米就是4米，是一个等量关系，而我们本机可探讨的问题，普通的三角形已知两条边，第三条边的长度是一个范围值，而且是通过另两条边的加减求出来的，这样一个情境的设置却有可能把孩子下面的思维引向一个死角，从而加大问题的难度，个人认为到不如开门见山来的恰当。

二、动手操作，探讨三角形三边关系。

由于学生对三角形任意两边之和大于第三边的规律只是停留在生活经验的基础上，从实际抽象成图形，还是有一定的难度。教学中应该充分留给学生足够的时间和空间，让他们经历摆一摆、画一画等活动，让他们在“做中学”，激发他们主动探索发现规律，培养学生自主总结得出结论。对于三角形任意两边之和大于第三边这样一个高度抽象的概括，对孩子而言远没有“三角形内角和是180度”来的耳熟能详，对于这样一个知识更需要教师通过一系列直观形象、具体操作并辅以引导之后，由孩子自主概括得来。

这一步作为教学中最重要的环节，一般情况下，教师会提供给孩子几根不同长度的纸条或者小棒，让孩子们通过小组合作尝试搭建三角形，并引导讨论——什么样的情况下可以搭成三角形，什么样的情况下不可以，初步探讨出三角形的三边关系。

问题1：是纸条还是小棒？

这是一个典型的由形象直观到抽象概括上升到理性层面的过程。一般情况下教师提供给孩子的材料有两种，一种是纸条；另一种是小棒。

经过一些课例的观摩，我觉得在这样一个形象的动手操作环节中，小棒的优越性明显超出纸条。原因是小棒比较细，从孩童的角度更接近与线段，便于下一步的抽象概括；而纸条，往往会碰到尴尬，从一些课例中可以看到，孩子在连接纸条的过程中，对于头尾相接，有宽度的纸条哪里可以看成头尾往往会出现一些错误的判断，特别是在两条边之和等于第三条边的情况下，孩子往往会提供出教师很难解释清楚的错例来。这里的形象直观就给解决抽象图像的问题造成了障碍，从视觉上给孩子下一步的推理形成了负迁移。这也提醒了我们在选择材料的时候教师需要多一些思考，选择最便于抽象概括的材料。

问题2：提供什么样的数据？

这个环节中教师一般会给同一个小组提供长度不同的材料，那到底提供什么样的数据才能涵盖所需要的情况，又有效的规避材料的缺陷呢？很多老师都有非常深入的思考。比如：这位老师准备好长度分别为4cm、6cm、8cm、12cm四种长度的小棒，要求学生从中任取三根顺次首尾连接，拼凑成三角形，并对下列问题相互开展讨论：

（1）．有没有发现三根小棒不能拼成三角形的情况？不能拼成三角形的三根小棒分别是多少cm？[ 4、6、12    4、8、12]

（2）．能拼成三角形的三根小棒的长度是多少？[ 4、6、8   6、8、12]

（3）．你觉得三根小棒为什么不能拼成三角形？（讨论，表述），感悟出几种情况：

①两边和小于第三边       （不能拼成三角形）

②两边和等于第三边       （不能拼成三角形）

③两边和大于第三边       （可以拼成三角形）

最后归纳出三角形三边关系的规律：“三角形任意两边之和大于第三边”。

仔细观摩这个课例，老师确实动了一番脑筋，将所有情况都涵盖，并且通过3个问题丝丝入扣的引导孩子进行比较深入的探究，自主从形象直观抽象出了三角形的三边关系。

这位老师就为我们提供了一个较为成功的案例。图形是客观世界抽象概括的产物，其本质是抽象的。从形象直观的小棒导入，又不仅仅停留在直观的层面，在直观的基础之上，引导学生从形象感知向理性思维过度，并通过直观后的抽象抵达数学的本质。

学生经历围的过程直观的发现，两根小棒长度之和小于或等于第三根小棒时，不能摆成三角形，只有大于第三根小棒时，才能摆成三角形，得出了三角形两边之和大于第三边的结论，从而初步认识了三角形三边的关系。教师提问“这样的归纳全面吗？”这使学生敏感的意识到这种表达可能有问题，问题出在哪呢？学生不得不深思。最后学生终于发现：三角形任意两边之和大于第三边。对“任意”二字的理解，使学生对三角形三边之间关系的认识得到了深化。

三、应用所学知识解决问题

老师们再由直观的小棒引发探讨，并由孩子们自出抽象概括出三角形三边关系之后一般会安排运用知识、加强理解的环节。

通过网上案例总结，一般有两种方式：一种是直接进入比较抽象的应用，比如出示一组数据，让孩子判断。另一种是回归现实生活，比如给出小明从学校回家，可以走直线或者绕远路，让孩子从形象直观的生活中再次体悟三角形三边关系，并且进行解释。

这两种方案，我个人更支持后一种，从孩子心理来看，从形象到抽象，是一次飞跃；从抽象再次回到生活中的形象直观，并运用抽象知识进行解释，又是一次飞跃，加深了孩子对于这个知识的理解，强化了认识，对于知识有了更深的理解，对后面的应用也起到了好的作用。

 数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与发展的过程。首先，直观是前提。儿童认识图形必须从具体、直观入手。无论是教材的编写，还是课堂教学也罢，都是在直观的基础上，抽象出图形的特征，从而从感性认识上升为理性认识的。

其次，抽象是本质。图形是客观世界抽象概括的产物，其本质是抽象的。如果教学仅仅停留在直观的层面，那么我们对图形与几何的理解就难以深入，难以触及本质。直观在带来我们所需的形象、可感的同时，也夹杂着一些我们不需要的干扰或多余信息。我们必须在直观的基础之上，引导学生从形象感知向理性思维过度，并通过直观后的抽象抵达数学的本质。

教学中，要根据学生的认识特点，从直观入手，并在直观的基础上，抽象理性地思辨。学生学习数学知识的过程，应该是“从生动的直观到抽象思维，并从抽象思维到实践”的完整的认知过程。因此，借助观察，试验，归纳，类比……，从具体的研究对象，日常生活中的模型，概括出抽象的概念和原理，即“从生动的直观到抽象的思维”是符合学生认知规律的“素质型”数学课堂教学不可缺少的教学阶段。

 总的来说，直观是符合小学生身心发展规律的，它要求我们根据学生的认知特点，借助学生已有经验去感性认识几何图形。抽象是从数学本身的特征提出的，在直观之后往往还要求我们去除非本质属性，凸显本质属性，抽象是正向经验的逻辑建构。小学数学阶段的教学既要关注 “小学生” 的年龄特点，又要关注“数学”自身的抽象、逻辑特征，在度的把握上努力寻求一种动态的平衡。